So ich erklärs dir (hab mein altes Oberschul-Mathe-Wissen aus der Schulzeit noch mal aus dem Kopf rausgekramt):
p(x) ist 2.Grades, demnach p(x)=ax^2+bx+c
q(x) ist 4.Grades, demnach q(x)=dx^4+ex^3+fx^2+gx+h
nun sind p(x) und q (x) achsensymmetrisch zur y-Achse, demnach p(x)=p(-x) und q(x)=q(-x)
Damit das gilt, dürfen sowohl p(x) als auch q(x) keine ungeraden Exponenten haben
=> p(x)=ax^2+c und q(x)=dx^4+fx^2+h
Nun befassen wir uns erstmal mit p(x)
für x=0 ist p(0)=a*0^2+c also p(0)=c
Da p(0)=1/4 ist, ist demnach c=1/4
also: p(x)=ax^2+1/4
für x=1 ist p(1)=a*1^2+1/4=a+1/4
p(1)=0, also ist a+1/4=0 und demnach a=-1/4
Also hat man p(x)=-1/4x^2+1/4
Nun zu q(x):
für q(0) gilt das selbe wie für p(0), q(0)=dx^4+fx^2+h und q(0)=1/4
demnach ist dx^4+fx^2+h=1/4 und da x=0 ist h=1/4
=> q(x)=dx^4+fx^2+1/4
Nun hat q(x) auch den Punkt (1,0); demnach ist dx^4+fx^2+1/4=0 für x=1
also d+f+1/4=0, =>
d+f=-1/4 (bitte diese fettgedruckte Gleichung im Kopf behalten)
Es steht geschrieben, dass q(x) und p(x) im Punkt (1,0) einen rechten Winkel bilden.
Die Steigung von p(x) in diesem Punkt ist -1/4, da dort x=1 ist und man so eine Tangente der Gleichung t(x)=-1/4x+1/4 durch diesen Punkt legen könnte.
Da ein rechter Winkel im Punkt (1,0) vorliegt und die Steigung von p(x) dort -1/4 beträgt, muss dort die Steigung von q(x)=4 betragen, also die Ableitung von q(x)=4 sein.
So bildet man die Ableitung von q(x), die 4 sein muss: 4dx^3+2fx=4, und an diesem speziellen Punkt gilt dann
4d+2f=4.
Nun hat man 2 Gleichungen, die d und f beinhalten, mit denen man d und f bestimmen kann. Schreibt man also einfach mal beide Gleichungen untereinander:
d+f=-1/4
4d+2f=4
Die 1.Gleichung multipliziert man mit 2:
2d+2f=-1/2
4d+2f=4
Man zieht die 1.Gleichung von der 2. ab:
4d+2f-(2d+2f)=4-(-1/2)
=> 2d=9/2
=> d=9/4
Nun setzt man 9/4 für d in die Gleichung d+f=-1/4 ein und erhält für f=-1/4-9/4=-10/4=-5/2
=> f=-5/2
Nun hat man q(x)=9/4x^4-5/2x^2+1/4
Nächster Schritt sind die Nullstellen von q(x)
q(x)=9/4x^4-5/2x^2+1/4
Nullstelle heißt: q(x)=0, zwei Nullstellen sind bekannt: für x=1 und x=-1 wird q(x)=0 (siehe Zeichnung)
Nun kann man nicht ohne weiteres aus der vorhanden Gleichung für q(x) weitere Nullstellen ausrechnen, man muss zwei Polynomdivisionen durchführen:
Das heißt, man dividiert q(x) das 1.Mal durch (x-1) und danach durch (x+1) oder umgekehrt, da für x=+1 (x-1)=0 und für x=-1 (x+1)=0 wird, und das die beiden bekannten Nullstellen sind.
1.Schritt: (9/4x^4-5/2x^2+1/4)/(x-1)=9/4x^3+9/4x^2-1/4x-1/4
2.Schritt: (9/4x^3+9/4x^2-1/4x-1/4)/(x+1)=9/4x^2-1/4
9/4x^2-1/4=0, da q(x)=0 sein muss
9/4x^2=1/4
x^2=4/36
x= 1/3 & -1/3
Nun setzt man x=1/3 und x=-1/3 noch in die Original-Gleichung für q(x) ein, und wenn dann q(x)=0 rauskommt, ist die Probe für die beiden Nullstellen bestanden. Habe dies durchgeführt und es stimmt.
Nullstellen von q(x) sind also: 1, 1/3, -1/3, -1
Nun war nach dem Minima gefragt: Minima ist eine Extremstelle (besser gesagt ein Tiefpunkt einer Parabel). Nun ist die Steigung einer Parabel an einem Tiefpunkt 0 (q'(x)=0).
Demnach muss man q(x) ableiten:
q(x)=9/4x^4-5/2x^2+1/4
q'(x)=9x^3-5x
9x^3-5x=0
x*(9x^2-5)=0, d.h. x=0 und 9x^2-5=0 ist möglich
also 1.mögliche Extremstelle x=0
9x^2-5=0
=>9x^2=5
x^2=5/9
x=5/9^1/2 und x=-5/9^1/2
2.mögliche Extremstelle: x=5/9^1/2
3.mögliche Extremstelle x=-5/9^1/2
Um Extremstelle zu sein, muss aber die 2.Ableitung (q''(x)) ungleich 0 sein (sonst hätte man an der möglichen Extremstelle einen Wende- und somit einen Sattelpunkt)
q''(x)=27x^2-5, nun sieht man das q''(x) für x=0, für x=5/9^1/2 und für x=5/9^-1/2 bei Einsetzen für x nie 0 wird. Demnach existieren alle drei Extremstellen. Der Tiefpunkt liegt nun dort, wo q'(x) steigt, also q''(x) positiv ist.
Für x=0 ist 27x^2-5=-5 also negativ, aber 27*5/9-5=10, demnach sind x=5/9^1/2 und x=-5/9^1/2 Tiefpunkte (Minima=Tiefpunkt)
Für die y-Werte wieder die x-Werte der Tiefpunkte in die Originalgleichung q(x) einsetzen: 9/4*5/9^2-5/2*5/9+1/4=1/9
Als letztes ist der Inhalt I der gefärbten Fläche gefragt:
Dies löst man mit Integralrechnung.
Die Fläche läuft von x=-1 bis x=0, wobei p(x) über q(x) liegt.
Als erstes subtrahiert man also q(x) von p(x), also p(x)-q(x)=-1/4x^2+1/4-(9/4x^4-5/2x^2+1/4)=-9/4x^4+9/4x^2
Dann bildest du die Stammfunktion von -9/4x^4+9/4x^2, indem du umgekehrt ableitest (Beweis für die Richtigkeit des Ableitens und umgekehrten Ableitens erbringe ich hier nicht, da zu umfangreich und kompliziert)
Du erhälst -9/20x^5+3/4x^3 und sagst F(x)=-9/20x^5+3/4x^3. Nun integrierst du die beiden Grenzen x=0 und x=-1 und bildest F(0)-F(-1)=-9/20*0^5+3/4*0^3-
(-9/20*1^5+3/4*1^3)=9/20-3/4=-3/10 (-3/10 stimmt nicht, irgendwo ist/sind Fehler drin)
Irgendwie stimmt mein Ergebnis nicht mit dem geforderten überein. Ich bin demjenigen, der die Fehler aufdeckt sehr dankbar (wir sind hier nicht beim DSF
).
Also erstens: das erörtern eines Lösungsweges für diese Aufgaben ist Off-Topic! 
Ein echter Mathematiker verkündet: "Das Problem ist lösbar!" und befasst sich dann wieder mit Aufgaben in denen sowas Triviales wie Zahlen erst gar nicht vorkommen. 
